设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=Sn+60n+1（n∈N*）的最小值为．

Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁=2，对任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，则f（n）= (Sn+60)/(n+1)（n∈N^*）的最小值为___．

Answer 1

∵对任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，令p=n，q=1，可得a_n+1=a_n+a₁，则an+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2．
∴S_n=2n+(n(n-1))/(2)×2=n+n²．
则f（n）=(Sn+60)/(n+1)=(n2+n+60)/(n+1)=n+1+(60)/(n+1)-1，
令g（x）=x+(60)/(x)（x≥1），则g′（x）=1-(60)/(x2)=(x2-60)/(x2)，可得x∈[1，√(60)时，函数g（x）单调递减；x∈[√(60)，+∞)时，函数g（x）单调递增．
又f（7）=14+(1)/(2)，f（8）=14+(2)/(3)．
∴f（7）<f（8）．
∴f（n）=(Sn+60)/(n+1)（n∈N^*）的最小值为(29)/(2)．
故答案为：(29)/(2)．