在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D为△ABC内一点，BD=BC，且∠CBD=60°．（1）如图1，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：AD是BC的垂直平分线；（3）如图2，以AB为一边

Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D为△ABC内一点，BD=BC，且∠CBD=60°．
（1）如图1，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）求证：AD是BC的垂直平分线；
（3）如图2，以AB为一边作等边三角形ABE，连接CE，DE，试探究AD、BD、DE之间有怎样的数量关系？

Answer 1

（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=(1)/(2)（180°-∠A）=90°-(1)/(2)α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-(1)/(2)α；

（2）证明：如图1，连接AD，CD，
∵BD=BC，且∠CBD=60°．
∴△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中

AB＝AC

AD＝AD

BD＝CD

∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线；

（3）如图2，连接AD、DC、DE，
∵△ABE是等边三角形，△BCD为等边三角形，
∴∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD与△EBC中

AB＝BE

∠ABD＝∠EBC

BD＝BC

∴△ABD≌△EBC（SAS）
∴∠BAD=∠BEC，AD=CE，
∴∠ABD=∠EBC=30°-(1)/(2)α，∠BAD=∠BEC=(1)/(2)α，
∴∠BCE=180°-∠EBC-∠BEC=180°-（30°-(1)/(2)α）-(1)/(2)α=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∴△DCE是直角三角形，
∴CD²+CE²=DE²，
∵BD=CD，AD=CE，
∴DB²+AD²=DE²．