如图，以x轴负半轴为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（-35，45）．（1）求sin2α+cos2α+11+tanα的值；（2）若OP•OQ=0，求sin（α+β2）的

Question

如图，以x轴负半轴为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（-(3)/(5)，(4)/(5)）．
（1）求(sin2α+cos2α+1)/(1+tanα)的值；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求sin（α+(β)/(2)）的值．

Answer 1

（1）由三角函数定义得 cosα＝−(3)/(5)，sinα＝(4)/(5)，
∴原式=(2sinαcosα+2cos2α)/(1+(sinα)/(cosα))=(2cosα(sinα+cosα))/((sinα+cosα)/(cosα))＝2cos2α
=2×(−(3)/(5))2＝(18)/(25)，
即(sin2α+cos2α+1)/(1+tanα)=(18)/(25)．
（2）因为若

OP

•

OQ

=0且0＜β＜α＜π，所以α−β＝(π)/(2)，即β＝α−(π)/(2)，
所以cosβ＝cos(α−(π)/(2))＝sinα＝(4)/(5)．                
因为0＜β＜π，所以0＜(β)/(2)＜(π)/(2)，
从而sin(β)/(2)＝√((1−cosβ)/(2))＝

作业帮用户 2017-09-22

问题解析

对第（1）问，先利用倍角公式将sin2α，cos2α化为单角的三角函数，利用同角三角函数的基本关系将tanα用sinα，cosα表示，再根据三角函数的定义可求得(sin2α+cos2α+1)/(1+tanα)的值；
对第（2）问，由

OP

•

OQ

=0知，∠POQ=90°，从而找到α与β的联系，再利用诱导公式及半角公式，求得sin(β)/(2)和cos(β)/(2)的值，最后由两角和的正弦公式求得sin（α+(β)/(2)）的值．

名师点评

本题考点：

平面向量数量积的运算；三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：

1．本题考查了两向量垂直的充要条件，三角函数的定义及基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正弦公式，半角公式等，记住基本的三角恒等变形式，是使问题顺利解答的先决条件．
2．在进行三角函数的求值、计算时，除了记住公式外，还要注意以下两点：
（1）一般遵循“先化简，后求值”的原则；
（2）在处理三角函数的开方计算，或给定未知角求函数值问题时，应考虑角的范围或角所在象限，因为这决定了函数值的符号．

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