设α为n维列向量，且αTα=1，证明：A=E-2ααT为对称的正交矩阵．

Question

设α为n维列向量，且α^Tα=1，证明：A=E-2αα^T为对称的正交矩阵．

Answer 1

证明：∵A^T=（E-2αα^T）^T=E-2（2αα^T）^T=E-2αα^T=A
∴A为对称矩阵
又 A^TA=（E-2αα^T）（E-2αα^T）
=E-4αα^T+4（αα^T）（αα^T）
=E-4αα^T+4α（α^Tα）α^T
=E-4αα^T+4αα^T
=E
∵α^Tα=1
∴A为正交矩阵．
综上可知A为对称的正交矩阵．