点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若，则∠ABC所对的弧长等于(长度单位)．

Question

点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若，则∠ABC所对的弧长等于____(长度单位)．

Answer 1

如图1，

\n∵AD⊥BC，BE⊥AC，
\n∴∠H+∠DBH=90°，∠C+∠DBH=90°，
\n∴∠H=∠C.
\n又∵∠BDH=∠ADC=90°，
\n∴△BHD∽△ACD，
\n∴.
\n∵，
\n∴，
\n∴∠tan∠BAD=60°，
\n∴∠ABC=30°，
\n∴∠ABC所对的所对的圆心角为30°×2=60°，
\n∴∠ABC所对的弧长．
\n如图2，

\n同(1)可证△HBD∽△CAD，
\n∴，
\n∴在Rt△ABD中，，
\n∴∠BAD=60°，
\n∴∠ABD=90°-∠BAD=30°，
\n可得∠ABC=180°-∠ABD=150°，
\n∴∠ABC所对的弧所对的圆心角为300°，
\n∴∠ABC所对的弧长．
\n综上所述，∠ABC所对的弧长为或．

【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．