如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x和圆心角

Question

如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm²．

（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；
（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S的最大值．

Answer 1

（1）设扇形的弧长为l，则l=10-2x，
由题意可得

0<x≤3

0<10-2x<πx

，
解得(10)/(π+2)<x≤3，
∴S=（5-x）x=-x²+5x，(10)/(π+2)<x≤3；
（2）由（1）和基本不等式可得S=（5-x）x≤（(5-x+x)/(2)）²=(25)/(4)，
当且仅当5-x=x即x=(5)/(2)时取等号，此时l=5，圆心角α=(l)/(x)=2，
∴当半径x和圆心角α分别为(5)/(2)和2时，所围扇形场地的面积S最大，且最大值(25)/(4)