如图，O1与O2相交于A，B两点，点P在线段BA延长线上，T是O1上一点，PT⊥O2T，过P的直线交O1于C，D两点（1）求证：PTPC=PDPT（2）若O1与O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2=5，PT=2425，求PA的长．

Question

如图， O₁与 O₂相交于A，B两点，点P在线段BA延长线上，T是 O₁上一点，PT⊥O₂T，过P的直线交 O₁于C，D两点

（1）求证：(PT)/(PC)=(PD)/(PT)
（2）若 O₁与 O₂的半径分别为4，3，其圆心距O₁O₂=5，PT=(24√(2))/(5)，求PA的长．

Answer 1

（1）证明：∵PT⊥O₂T，
∴PT是 O₂的切线，
∴PT²=PA•PB，
∵过P的直线交 O₁于C，D两点
∴PC•PD=PA•PB，
∴PT²=PC•PD，
∴(PT)/(PC)=(PD)/(PT)；
（2） 连接O₁A，O₂A，
∵ O₁与 O₂的半径分别为4，3，其圆心距O₁O₂=5，
∴O₁O₂²=O₁A²+O₂A²，
∴∠O₁AO₂=90°，
设Rt△O₁AO₂斜边长为h，则h=(3×4)/(5)=(12)/(5)，AB=2h=(24)/(5)，
∵PT²=PA•PB，PT=(24√(2))/(5)，
∴PA（PA+(24)/(5)）=（(24√(2))/(5)）²，
∴PA=(24)/(5)．