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(2014•孝感)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)求
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(2014•孝感)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:△PCF是等腰三角形;
(3)若tan∠ABC=
,BE=7
,求线段PC的长.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:△PCF是等腰三角形;
(3)若tan∠ABC=
4 |
3 |
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵PD切⊙O于点C,
∴OC⊥PD.
又∵AD⊥PD,
∴OC∥AD.
∴∠ACO=∠DAC.
又∵OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠DAB.
(2)∵AD⊥PD,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠PCB.
又∵∠DAC=∠CAO,
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠BCF,
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,
∴∠PFC=∠PCF,
∴PC=PF,
∴△PCF是等腰三角形.
(3)连接AE.
∵CE平分∠ACB,
∴
=
,
∴AE=BE=7
.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中,AB=
=14.
∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,
∴
=
.
又∵tan∠ABC=
,
∴
=
,
∴
=
.
设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,
∵PC2+OC2=OP2,
∴(4k)2+72=(3k+7)2,
∴k=6 (k=0不合题意,舍去).
∴PC=4k=4×6=24.
∴OC⊥PD.
又∵AD⊥PD,
∴OC∥AD.
∴∠ACO=∠DAC.
又∵OC=OA,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠DAB.
(2)∵AD⊥PD,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠PCB+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠PCB.
又∵∠DAC=∠CAO,
∴∠CAO=∠PCB.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠BCF,
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,
∴∠PFC=∠PCF,
∴PC=PF,
∴△PCF是等腰三角形.
(3)连接AE.
∵CE平分∠ACB,
∴
AE |
BE |
∴AE=BE=7
2 |
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中,AB=
AE2+BE2 |
∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,
∴
PC |
PB |
AC |
BC |
又∵tan∠ABC=
4 |
3 |
∴
AC |
BC |
4 |
3 |
∴
PC |
PB |
4 |
3 |
设PC=4k,PB=3k,则在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,
∵PC2+OC2=OP2,
∴(4k)2+72=(3k+7)2,
∴k=6 (k=0不合题意,舍去).
∴PC=4k=4×6=24.
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