已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图①,求证：MN2=AM2+BN2；思路点

Question

已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图①,求证：MN2=AM2+BN2；
思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了．
请你完成证明过程：
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立,请说明理由．

Answer 1

（1）证明：
将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,
则△DCM≌△ACM．
有CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A．
又由CA=CB,得 CD=CB．
由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM,
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM,
得∠DCN=∠BCN．
又CN=CN,
∴△CDN≌△CBN．
∴DN=BN,∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．
∴在Rt△MDN中,由勾股定理,
得MN2=DM2+DN2．即MN2=AM2+BN2．
（2）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．
证明：
将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,
则△GCM≌△ACM．
有CG=CA,GM=AM,
∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM．
又由CA=CB,得 CG=CB．
由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°,
∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM．
得∠GCN=∠BCN．
又CN=CN,
∴△CGN≌△CBN．
有GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°,
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°．
∴在Rt△MGN中,由勾股定理,
得MN2=GM2+GN2．即MN2=AM2+BN2