已知圆C过点M(1,1)N(5,1)且圆心在直线y=x-2上,(1)求圆C的方程；(2)求过点P(1,4)且与圆c相切的直线方程.

Question

已知圆C过点M(1,1)N(5,1) 且圆心在直线y=x-2上,(1)求圆C的方程；(2)求过点P(1,4)且与圆c相切的直线方程.

Answer 1

(1)
设圆C的标准方程为
(x-a)²+(y-b)²=r²
∵圆心在直线y=x-2上
∴b=a-2 ①
∵圆C过点M(1,1)N(5,1)
∴（1-a)²+(1-b)²=r² ②
(5-a)²+(1-b)²=r² ③
②-③:
8a-24=0 ,a=3,代入 ①
b=1 ,
∴r²=(1-3)²=4
∴圆C的方程为(x-3)²+(y-1)²=4
（2）
点P(1,4)在圆C外,向圆引切线有2条
当直线斜率不存在时,x=1与圆C相切；
当直线斜率存在时时,设斜率为k
切线方程为y-4=k(x-1)
即kx-y+4-k=0
圆心C到切线的距离等于半径2
∴|3k-1+4-k|/√(k²+1)=2
(2k+3)²=4(k²+1)
解得k=-5/12
此时切线方程为y-4=-5/12(x-1)

综上,符合条件的切线方程为
x=1或5x+12y-53=0