设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F与l切于B点，且△ABF的面积为2．（Ⅰ）求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）过B作直线与抛物线C交于M（x1，y

Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F与l切于B点，且△ABF的面积为2．
（Ⅰ）求p的值及圆F的方程；
（Ⅱ）过B作直线与抛物线C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，是否存在常数m，使(|FM|)/(|FN|)=(y1−m)/(m−y2)恒成立？若存在，求常数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，
以F为圆心，FA为半径的圆F与l切于B点，且△ABF的面积为2．
∴设A（√(2py)，y），由题意知F（0，(p)/(2)），|AF|=p，且(1)/(2)p•√(2py)＝2，
解得A（(4)/(p)，(8)/(p3)），
由|AF|=√(((4)/(p))2+((8)/(p3)−(p)/(2))2)=p，解得p=2，∴A（2，1），
圆心F（0，1），圆半径r=2，
∴圆F的方程为x²+（y-1）²=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线方程为x²=4y，B（0，-1），
由题意知过B点的直线的斜率必存在，设过B点的直线方程为y=kx+1，（k≠0）
联立

x2＝4y

y＝kx+1

，得x²-4kx-4=0，
∵过B作直线与抛物线C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，
∴△=16k²+16＞0恒成立，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
若存在常数m，使(|FM|)/(|FN|)=(y1−m)/(m−y作业帮用户2017-11-13问题解析（Ⅰ）设A（√(2py)，y），由题意知F（0，(p)/(2)），|AF|=p，且(1)/(2)p•√(2py)＝2，从而求出A（(4)/(p)，(8)/(p3)），由|AF|=√(((4)/(p))2+((8)/(p3)−(p)/(2))2)=p，解得p=2，由此能求出圆F的方程为x2+（y-1）2=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线方程为x2=4y，B（0，-1），设过B点的直线方程为y=kx+1，（k≠0）联立x2＝4yy＝kx+1，得x2-4kx-4=0，由此能求出存在常数m=-1，使(|FM|)/(|FN|)=(y1−m)/(m−y2)恒成立．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题考查抛物线方程和圆的方程的求法，考查满足条件的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意圆、直线方程、抛物线等知识点的综合运用．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)