已知双曲线x2a2-y24=1（a∈N*）的两个焦点为F1，F2，P为该双曲线上一点，满足|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，P到坐标原点O的距离为d，且5<d<9，则a2=．

Question

已知双曲线 (x2)/(a2)- (y2)/(4)=1（a∈N^*）的两个焦点为F₁，F₂，P为该双曲线上一点，满足|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，P到坐标原点O的距离为d，且5<d<9，则a²=___．

Answer 1

双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(4)=1的b=2，c²=a²+4，
设P为右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义可得m-n=2a，
由题意可得4c²=mn，
m²+n²=d²，
可得（m-n）²+2mn=4a²+8c²=d²∈（25，81），
即25<12a²+32<81，
即为a²<(49)/(12)，由a为正整数，可得a=1，2，
故答案为：1或4．