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抛物线y=-14(x-1)2+3与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.(1)如图1.求点A的坐标及线段OC的长;(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.①若含45°角的直角三角板如
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抛物线y=-
(x-1)2+3与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.
(1)如图1.求点A的坐标及线段OC的长;
(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置.其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式;
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.
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(1)如图1.求点A的坐标及线段OC的长;
(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置.其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式;
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)把x=0代入抛物线得:y=
,
∴点A(0,
).
抛物线的对称轴为x=1,
∴OC=1.
(2)①如图:
B(1,3)
分别过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于点N,
∵PQ∥BC,
∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°,
∴四边形DMQN是矩形.
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴DC=DE,∠CDM=∠EDN
即
,
∴△CDM≌△EDN(AAS)
∴DM=DN,
∴矩形DMQN是正方形,
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q(4,0)
设BQ的解析式为:y=kx+b,
把B(1,3),Q(4,0)代入解析式得:k=-1,b=4.
所以直线BQ的解析式为:y=-x+4.
②当点P在对称轴右侧,如图:
过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于N,
∵∠CDE=90°,∴∠CDM=∠EDN
∴△CDM∽△EDN
当∠DCE=30°,
=
=
又DN=MQ
∴
=
∴
=
,BC=3,CQ=
∴Q(1+
,0)
∴P1(1+
,
)
当∠DCE=60°,点P2(1+3
,-
).
当点P在对称轴的左边时,由对称性知:
P3(1-
,
),P4(1-3
,-
)
综上所述:P1(1+
,
),P2(1+3
,-
),P3(1-
,
),P4(1-3
,-
).
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∴点A(0,
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抛物线的对称轴为x=1,
∴OC=1.
(2)①如图:
B(1,3)
分别过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于点N,
∵PQ∥BC,
∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°,
∴四边形DMQN是矩形.
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴DC=DE,∠CDM=∠EDN
即
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∴△CDM≌△EDN(AAS)
∴DM=DN,
∴矩形DMQN是正方形,
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q(4,0)
设BQ的解析式为:y=kx+b,
把B(1,3),Q(4,0)代入解析式得:k=-1,b=4.
所以直线BQ的解析式为:y=-x+4.
②当点P在对称轴右侧,如图:
过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于N,
∵∠CDE=90°,∴∠CDM=∠EDN
∴△CDM∽△EDN
当∠DCE=30°,
DC |
DE |
DM |
DN |
3 |
又DN=MQ
∴
DM |
MQ |
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∴
BC |
CQ |
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∴Q(1+
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∴P1(1+
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当∠DCE=60°,点P2(1+3
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当点P在对称轴的左边时,由对称性知:
P3(1-
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综上所述:P1(1+
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