已知椭圆c的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的根号3倍,椭圆上一点到右焦点的最短距离为根号三3减根号2（1）求椭圆c的标准方程（2）若线l：y＝kx＋b与圆O：x的平方＋y的平方＝3

Question

已知椭圆c的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的根号3倍,椭圆上一点到右焦点的最短距离为根号三3减根号2 （1） 求椭圆c的标准方程 （2）若线l：y＝kx＋b与圆O：x的平方＋y的平方＝3／4相切,且交椭圆c于A,B两点,求当三角形AOB的面积最大时直线l的方程

Answer 1

（1）已知 a=√3b,c=√(a²-b²)=√2b；
椭圆上距右焦点(c,0)最近的点是右顶点(a,0),故 a-c=√3-√2,所以 b=1,a=√3,c=√2；
椭圆标准方程 (x²/3)+y=1；
（2）直线 l：y=kx+m 与⊙O 相切,即直线到原点的距离 d=|m|/√(k²+1)=√3/2,故 4m²=3(k²+1)；
三角形 AOB 的面积 S 等于线段 |AB| 乘以原点 O 到直线 AB 的距离 d 再除以 2,S=|AB|*d/2；
现距离 d 一定,则当线段 |AB| 最大时三角形面积就到达最大；
将 l 的方程代入椭圆求(x²/3)+[kx+m]²=1,整理得 (1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0；
方程的两根之差 |x1-x2|=√△ /(1+3k²)=√[(6km)²-4(1+3k²)(3m²-3)] /(1+3k²)
=√[12*(3k²+1-m²)/(1+3k²) = √(27k²+3) /(1+3k²)；
|AB|=√(1+k²)*|x1-x2|=√(1+k²)*√(27k²+3) /(1+3k²) = √3*√[(9k^4 +10k²+1)/(9k^4 +6k²+1)]；
=√3*√{1+[4k²/(9k^4 +6k²+1)]}=√3*√{1+4/[9k²+6+(1/k²)]}≤√3*√{1+[4/(6+2√(9*1))]}=2；
仅当 9k²=1/k²,即 k²=1/3 时上式中的等号才成立,此时 m²=3(k²+1)/4=1；
所以直线 l 等方程为 y=±(√3/3)x±1；