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已知e是自然对数的底数,若函数f(x)=ex-x+a的图象始终在x轴的上方,则实数a的取值范围.
题目详情
已知e是自然对数的底数,若函数f(x)=ex-x+a的图象始终在x轴的上方,则实数a的取值范围______.
▼优质解答
答案和解析
∵函数f(x)=ex-x+a的图象始终在x轴的上方,
∴f(x)=ex-x+a>0对一切实数x恒成立,
∴f(x)min>0,
∵f′(x)=ex-1,
令f′(x)=0,求得x=0,
当x<0时,f′(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,
当x>0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,f(x)取得极小值即最小值为f(0)=1+a,
∴1+a>0,
∴a>-1,
∴实数a的取值范围为(-1,+∞).
故答案为:(-1,+∞).
∴f(x)=ex-x+a>0对一切实数x恒成立,
∴f(x)min>0,
∵f′(x)=ex-1,
令f′(x)=0,求得x=0,
当x<0时,f′(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,
当x>0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,f(x)取得极小值即最小值为f(0)=1+a,
∴1+a>0,
∴a>-1,
∴实数a的取值范围为(-1,+∞).
故答案为:(-1,+∞).
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