椭圆焦点在x轴上,长轴两端点为A、B.若椭圆上一点M使角AMB等于120°,求离心率e的范围

Question

椭圆焦点在x轴上,长轴两端点为A、B.若椭圆上一点M使 角AMB 等于120°,求离心率e的范围

Answer 1

将椭圆移动翻转使之长轴位于x轴上（长轴的位置不影响离心率）,点M变为（X,Y）
取点N(X,0),则
tan∠AMN=(a+X)/|Y|
tan∠BMN=(a-X)/|Y|
于是
tan∠AMB
tan(∠AMN+∠BMN)
=[(a+X)/|Y|+(a-X)/|Y|]/[1-(a+X)/|Y|*(a-X)/|Y|]
=2a|Y|/(X^2+Y^2-a^2)
=tan120°
=-√3
再将(X/a)^2+(Y/b)^2=1代入消去X得：
√3(a^2-b^2)|Y|=2ab^2
|Y|=2ab^2/√3(a^2-b^2)
且由于椭圆上|Y|≤b
即2ab^2/√3(a^2-b^2)≤b
由于e=c/a于是b=a√(1-e^2)
代入得4(1-e^2)≤3e^4
且0