（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA•OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．1728D．10

Question

（2014•四川）已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

OA

•

OB

=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

A．2
B．3
C．(17√(2))/(8)
D．√(10)

Answer 1

设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由

x＝ty+m

y2＝x

⇒y²-ty-m=0，根据韦达定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，从而(y1•y2)2+y1•y2−2＝0，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y₁•y₂=-2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，又F((1)/(4)，0)，
∴S_△ABO+S_△AFO=(1)/(2)×2×(y1−y2)+(1)/(2)×(1)/(4)×y1=(9)/(8)y1+(2)/(y1)≥2√((9)/(8)y1•(2)/(y1))＝3．
当且仅当(9)/(8)y1＝(2)/(y1)，即y1＝(4)/(3)时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．