已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（-1，-4），且经过点B（-2，-3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上

Question

已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A （-1，-4），且经过点B（-2，-3），与x轴分别交于C、D两点．

（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；
（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线OB解析式为y=kx，由题意可得-3=-2k，解得k=(3)/(2)，
∴直线OB解析式为y=(3)/(2)x，
∵抛物线顶点坐标为（-1，-4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）²-4，
∵抛物线经过B（-2，-3），
∴-3=a-4，解得a=1，
∴抛物线为y=x²+2x-3；
（2）设M（t，t²+2t-3），MN=s，则N的横坐标为t-s，纵坐标为(3)/(2)(t-s)，
∵MN∥x轴，
∴t²+2t-3=(3)/(2)(t-s)，得s=-(2)/(3)t2-(1)/(3)t+2=-(2)/(3)(t+(1)/(4))2+(49)/(24)，
∴当t=-(1)/(4)时，MN有最大值，最大值为(49)/(24)；
（3）EF+EG=8．
理由如下：
如图2，过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，

在y=x²+2x-3中，令y=0可得0=x²+2x-3，解得x=-3或x=1，
∴C（-3，0），D（1，0），
设P（t，t²+2t-3），则PQ=-t²-2t+3，CQ=t+3，DQ=1-t，
∵PQ∥EF，
∴△CEF∽△CQP，
∴(EF)/(PQ)=(CE)/(CQ)，
∴EF=(CE)/(CQ)•PQ=(2)/(t+3)（-t²-2t+3），
同理△EGD∽△QPD得(EG)/(PQ)=(DE)/(DQ)，
∴EG=(DE)/(DQ)•PQ=(2)/(1-t)•(-t2-2t+3)，
∴EF+EG=(2)/(t+3)（-t²-2t+3）+(2)/(1-t)•(-t2-2t+3)=2（-t²-2t+3）（(1)/(t+3)+(1)/(1-t)）=2（-t²-2t+3）（(1-t+t+3)/((t+3)(1-t))）=2（-t²-2t+3）（(4)/(-t2-2t+3)）=8，
∴当点P运动时，EF+EG为定值8．