如图，过点C（4，3）的抛物线的顶点为M（2，-1），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使△PBC

Question

如图，过点C（4，3）的抛物线的顶点为M（2，-1），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点P坐标；
（3）若点Q在第一象限内，且tan∠AQB=2，线段DQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点为M（2，-1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1，
∵抛物线过点C（4，3），
∴3=a×4-1，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-1=x²-4x+3，
∵抛物线交y轴于点D，
∴点D（0，3），
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为x=2，
设点P（2，m），
∵抛物线交x轴于A、B两点，
∴A（1，0），B（3，0），
∴PB²=1+m²，PC²=4+（m-3）²，BC²=1²+3²=10，
∵△PBC为直角三角形，
①当∠CPB=90°时，
∴PB²+PC²=BC²，
∴1+m²+（m-3）²=10，
∴m₁=1，m₂=2，
∴P（2，1），或P（2，2），
②当∠PBC=90°时，
∴PB²+BC²=PC²，
∴10+1+m²=4+（m-3）²，
∴m=(1)/(3)，
∴P（2，(1)/(3)），
③当∠PCB=90°时，
∴PB²=BC²+PC²，
∴1+m²=4+（m-3）²+10，
∴m=(11)/(3)，
∴P（2，(11)/(3)），
∴使△PBC为直角三角形的点P坐标P（2，1）或P（2，2）或P（2，(1)/(3)）或P（2，(11)/(3)）；
（3）如图，

由（2）有，A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
过点B作BF⊥AB，截取BF=(1)/(2)AB=1，
连接AF，
∴根据勾股定理得，AF=√(5)，
以AF为直径作圆，圆心为点E，则点E在抛物线的对称轴上，
∴EG=(1)/(2)BF=(1)/(2)，
∴点E（2，(1)/(2)），
∵∠AQB=∠AFB，
连接DE，交 E于Q，所以此时线段DQ最小，
∵D（0，3），
∴DE=√(22+((1)/(2)-3)2)=(√(41))/(2)，
∴DQ=DE-QE=DE-(1)/(2)AF=

√(41)-√(作业帮用户2017-11-07扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)