已知抛物线C1：y1=12x2-x+1，点F（1，1）．（I）求抛物线C1的顶点坐标；（II）①若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：1AF+1BF=2．②取抛物线C1上任意一点P（xP，yP）

Question

已知抛物线C1：y1=(1)/(2)x2-x+1，点F（1，1）．
（I）求抛物线C₁的顶点坐标；
（II）①若抛物线C₁与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C₁于点B，求证：(1)/(AF)+(1)/(BF)=2．
②取抛物线C₁上任意一点P（x_P，y_P）（0＜x_P＜1），连接PF，并延长交抛物线C₁于Q（x_Q，y_Q）．试判断(1)/(PF)+(1)/(QF)=2是否成立？请说明理由；
（III）将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线C2：y2=(1)/(2)(x-h)2，若2＜x≤m时，y₂≤x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

（I）∵y₁=(1)/(2)x²-x+1=(1)/(2)（x-1）²+(1)/(2)，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，(1)/(2)）；
（II）①证明：根据题意得：点A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
∴(1)/(AF)+(1)/(BF)=2；
②(1)/(PF)+(1)/(QF)=2成立．
理由：
如图，过点P（x_p，y_p）作PM⊥AB于点M，
则FM=1-x_p，PM=1-y_p，（0＜x_p＜1），
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF²=FM²+PM²=（1-x_p）²+（1-y_p）²，
又点P（x_p，y_p）在抛物线C₁上，
得y_p=(1)/(2)（x_p-1）²+(1)/(2)，即（x_p-1）²=2y_p-1，
∴PF²=2y_p-1+（1-y_p）²=y_p²，
即PF=y_p，
过点Q（x_Q，y_Q）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得：QF=y_Q，
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴(PF)/(QF)=(PM)/(QN)，
这里PM=1-y_p=1-PF，QN=y_Q-1=QF-1，
∴(PF)/(QF)=(1-PF)/(QF-1)，
即(1)/(PF)+(1)/(QF)=2；
（III）令y₃=x，
设其图象与抛物线C₂交点的横坐标为x₀，x₀′，且x₀＜x₀′，
∵抛物线C₂可以看作是抛物线y=(1)/(2)x²左右平移得到的，
观察图象，随着抛物线C₂向右不断平移，x₀，x₀′的值不断增大，
∴当满足2＜x≤m，y₂≤x恒成立时，m的最大值在x₀′处取得．
可得：当x₀=2时，所对应的x₀′即为m的最大值．
于是，将x₀=2代入(1)/(2)（x-h）²=x，
有(1)/(2)（2-h）²=2，
解得：h=4或h=0（舍去），
∴y₂=(1)/(2)（x-4）²．
此时，由y₂=y₃，得(1)/(2)（x-4）²=x，
解得：x₀=2，x₀′=8，
∴m的最大值为8．