如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD=2x，梯形面积为S．则S的最大值是32273227．

Question

如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD=2x，梯形面积为S．则S的最大值是

(32)/(27)

(32)/(27)

．

Answer 1

建立如图所示的坐标系，设抛物线的标准方程为x²=-2py（p＞0）
则B（1，-1），代入抛物线方程可得2p=1，∴抛物线方程为x²=-y
∵CD=2x，∴D（x，-x²）
∴梯形的高为1-x²，梯形的面积为S=（x+1）（1-x²），x∈（0，1）
S=（x+1）（1-x²）=(1)/(2)（x+1）²（2-2x）≤(1)/(2)×((x+1+x+1+2−2x)/(3))3=(32)/(27)，
当且仅当x+1=2-2x，即x=(1)/(3)时，S的最大值是(32)/(27)
故答案为：(32)/(27)