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如图,直线y=-2x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于点A、B,S△OAB=16,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A,顶点M在直线y=-2x+n上.(1)求n的值;(2)求抛物线的解析式;(3)如果抛物线的对称轴与x轴
题目详情
如图,直线y=-2x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于点A、B,S△OAB=16,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A,顶点M在直线y=-2x+n上.
(1)求n的值;
(2)求抛物线的解析式;
(3)如果抛物线的对称轴与x轴交于点N,那么在对称轴上找一点P,使得△OPN和△AMN相似,求点P的坐标.
(1)求n的值;
(2)求抛物线的解析式;
(3)如果抛物线的对称轴与x轴交于点N,那么在对称轴上找一点P,使得△OPN和△AMN相似,求点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=-2x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴当x=0时,y=n即B(0,n);当y=0时,x=
即点A(
,0),
则OA=
,OB=n,
∴S△OAB=
OA•OB=
×n×
=
n2=16,
解得n=±8.
∵n>0,
∴n=-8不符题意,舍去.
故n=8;
答:n=8.
(2)由顶点M在直线y=-2x+8上,可设点M(x,-2x+8).
由n=8,则点A(4,0),B(0,8).
∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过原点及点A,且顶点M在直线y=-2x+8上,
∴a<0,对称轴为−
=
,即−
=2,
把点A(4,0)代入y=ax2+bx,得:16a+4b=0①,
把x=2代入y=-2x+8,得M(2,4),
把点M的坐标代入抛物线解析式,得4a+2b=4②,
由①②解得:a=-1,b=4.
∴抛物线解析式为:y=-x2+4x;
答:抛物线解析式为y=-x2+4x.
(3)由题意设点P(2,y),则y=PN.
要使得△OPN和△AMN相似,
有两种情况:
一种:点P不与点M重合,则
=
,
在Rt△MNA中,AN=4-2=2,MN=4,
代入
=
,解得y=1.
∴点P(2,1);
另一种:点P与点M重合.
则由题意可知点O与点A关于对称轴对称,
则△OPN≌△AMN,
∴△OPN∽△AMN,
∴点P(2,4).
∴点P坐标为:(2,1)或(2,4).
另外:点P与点M关于X轴对称点也可以,
∴点P坐标为:(2,-1)或(2,-4).
答:点P坐标为:(2,1)或(2,4)或(2,-1)或(2,-4).
∴当x=0时,y=n即B(0,n);当y=0时,x=
n |
2 |
n |
2 |
则OA=
n |
2 |
∴S△OAB=
1 |
2 |
1 |
2 |
n |
2 |
1 |
4 |
解得n=±8.
∵n>0,
∴n=-8不符题意,舍去.
故n=8;
答:n=8.
(2)由顶点M在直线y=-2x+8上,可设点M(x,-2x+8).
由n=8,则点A(4,0),B(0,8).
∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过原点及点A,且顶点M在直线y=-2x+8上,
∴a<0,对称轴为−
b |
2a |
OA |
2 |
b |
2a |
把点A(4,0)代入y=ax2+bx,得:16a+4b=0①,
把x=2代入y=-2x+8,得M(2,4),
把点M的坐标代入抛物线解析式,得4a+2b=4②,
由①②解得:a=-1,b=4.
∴抛物线解析式为:y=-x2+4x;
答:抛物线解析式为y=-x2+4x.
(3)由题意设点P(2,y),则y=PN.
要使得△OPN和△AMN相似,
有两种情况:
一种:点P不与点M重合,则
PN |
AN |
ON |
MN |
在Rt△MNA中,AN=4-2=2,MN=4,
代入
y |
2 |
2 |
4 |
∴点P(2,1);
另一种:点P与点M重合.
则由题意可知点O与点A关于对称轴对称,
则△OPN≌△AMN,
∴△OPN∽△AMN,
∴点P(2,4).
∴点P坐标为:(2,1)或(2,4).
另外:点P与点M关于X轴对称点也可以,
∴点P坐标为:(2,-1)或(2,-4).
答:点P坐标为:(2,1)或(2,4)或(2,-1)或(2,-4).
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