急需过抛物线y2＝4x的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p,q则1／p＋1／q=?

Question

【急需】过抛物线y2＝4x的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p,q则1／p＋1／q=?

Answer 1

抛物线y²＝4x的焦点为
F(1,0)
则
L：y-0=k(x-1)
y=kx-k
代入y²＝4x得
(kx-k)²=4x
即
k²x²-(2k²+4)x+k²=0
由韦达定理
x1+x2=(2k²+4)/k²
x1x2=1
准线x=-1
由抛物线定义
PF=P到准线的距离
故
p=x1+1
q=x2+1
则
1/p+1/q
=(p+q)/pq
=(x1+x2+2)/[x1x2+(x1+x2)+1]
=[(2k²+4)/k²+2]/[1+(2k²+4)/k²+1]
=[(2k²+4)/k²+2]/[(2k²+4)/k²+2]
=1