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已知a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边,且acosC+ccosA=2bcosB.(1)求角B的大小;(2)求sinA+sinC的取值范围.
题目详情
已知a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边,且acosC+ccosA=2bcosB.
(1)求角B的大小;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
(1)求角B的大小;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知,
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,
即sin(A+C)=2sinBcosB.
因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB≠0,
所以cosB=
.
∵B∈(0,π)
∴B=
.
(2)sinA+sinC=sinA+sin(
−A)
=
sinA+
cosA
=
sin(A+
)
∵A∈(0,
),
∴
<A+
<
∴
<sin(A+
)≤1
所以sinA+sinC的取值范围(
,
]
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,
即sin(A+C)=2sinBcosB.
因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB≠0,
所以cosB=
1 |
2 |
∵B∈(0,π)
∴B=
π |
3 |
(2)sinA+sinC=sinA+sin(
2π |
3 |
=
3 |
2 |
| ||
2 |
=
3 |
π |
6 |
∵A∈(0,
2π |
3 |
∴
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
∴
1 |
2 |
π |
6 |
所以sinA+sinC的取值范围(
| ||
2 |
3 |
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