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△ABC是等腰直角三角形,其中∠C=90°,AC=BC,D是BC上任意一点(点D与点B、C都不重合),连接AD,CF⊥AD,交AD于点E,交AB于点F,BG⊥BC交CF的延长线于点G.(1)依题意补全图形,并写出与BG相
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△ABC是等腰直角三角形,其中∠C=90°,AC=BC,D是BC上任意一点(点D与点B、C都不重合),连接AD,CF⊥AD,交AD于点E,交AB于点F,BG⊥BC交CF的延长线于点G.
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(1)依题意补全图形,并写出与BG相等的线段;
(2)当点D为线段BC中点时,连接DF,求证:∠BDF=∠CDE;
(3)当点C和点F关于直线AD成轴对称时,直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系.
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(1)依题意补全图形,并写出与BG相等的线段;
(2)当点D为线段BC中点时,连接DF,求证:∠BDF=∠CDE;
(3)当点C和点F关于直线AD成轴对称时,直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)BG=DC,理由是:
如图1,∵∠ACB=90°,
∴∠BCG+∠GCA=90°,
∵CF⊥AD,
∴∠CEA=90°,
∴∠GCA+∠CAD=90°,
∴∠BCG=∠CAD,
∵∠ACB=∠CBG=90°,AC=BC,
∴△CBG≌△ACD(ASA),
∴BG=DC;
(2)如图2,由(1)得:△CBG≌△ACD,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_e168b93fa0aad27303012d73b9334d4f.jpg)
∴∠CDE=∠G,
∵D是BC的中点,
∴BD=DC,
∵BG=DC,
∴BG=BD,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CBA=45°,
∵∠CBG=90°,
∴∠GBA=45°,
∴∠GBA=∠CBA=45°,
∵BF=BF,
∴△BDF≌△BGF(SAS),
∴∠BDF=∠G,
∴∠BDF=∠CDE;
(3)AD=2DE+2CE,理由是:
如图3,过C作CM⊥AB于M,交AD于N,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠BCM=∠ACM=45°,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_ff325c53309ee675348e36bee2b8c2e9.jpg)
∵点C和点F关于直线AD成轴对称,
∴AD是CF的中垂线,
∴CE=EF,CD=DF,AC=AF,
∵AD=AD,
∴△ACD≌△AFD,
∴∠DFA=∠ACB=90°,
∵∠CBA=45°,
∴△DBF是等腰直角三角形,
∴BF=DF,
∴BF=DF=CD,
∵AC=AF,∠BAC=45°,
∴∠ACF=∠CFA=67.5°,∠CAE=∠FAE=22.5°,
∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°,
∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°,
∴∠ECN=∠BCG,
∴△DCE≌△NCE,
∴DC=CN,DE=EN,
∴CN=BF,
∵∠CAD=∠BCG=22.5°,
∵AC=BC,
∴△ACN≌△CBF,
∴CF=AN=2CE,
∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE.
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如图1,∵∠ACB=90°,
∴∠BCG+∠GCA=90°,
∵CF⊥AD,
∴∠CEA=90°,
∴∠GCA+∠CAD=90°,
∴∠BCG=∠CAD,
∵∠ACB=∠CBG=90°,AC=BC,
∴△CBG≌△ACD(ASA),
∴BG=DC;
(2)如图2,由(1)得:△CBG≌△ACD,
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∴∠CDE=∠G,
∵D是BC的中点,
∴BD=DC,
∵BG=DC,
∴BG=BD,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CBA=45°,
∵∠CBG=90°,
∴∠GBA=45°,
∴∠GBA=∠CBA=45°,
∵BF=BF,
∴△BDF≌△BGF(SAS),
∴∠BDF=∠G,
∴∠BDF=∠CDE;
(3)AD=2DE+2CE,理由是:
如图3,过C作CM⊥AB于M,交AD于N,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠BCM=∠ACM=45°,
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∵点C和点F关于直线AD成轴对称,
∴AD是CF的中垂线,
∴CE=EF,CD=DF,AC=AF,
∵AD=AD,
∴△ACD≌△AFD,
∴∠DFA=∠ACB=90°,
∵∠CBA=45°,
∴△DBF是等腰直角三角形,
∴BF=DF,
∴BF=DF=CD,
∵AC=AF,∠BAC=45°,
∴∠ACF=∠CFA=67.5°,∠CAE=∠FAE=22.5°,
∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°,
∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°,
∴∠ECN=∠BCG,
∴△DCE≌△NCE,
∴DC=CN,DE=EN,
∴CN=BF,
∵∠CAD=∠BCG=22.5°,
∵AC=BC,
∴△ACN≌△CBF,
∴CF=AN=2CE,
∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE.
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