已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．

Question

已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．

（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；
（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；
（3）若BC²=2DE²，求∠A的度数．

Answer 1

（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵M是线段BC的中点，BC=8，
∴DM=(1)/(2)BC=4，EM=(1)/(2)BC=4，
∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；

（2）证明：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，
∴DM=BM，EM=CM，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，
∴∠EMC+∠DMB=180°-120°=60°，
∴∠DME=180°-120°=60°；

（3） 过M作MN⊥DE于N，
∵DM=EM，
∴EN=DN=(1)/(2)DE，∠ENM=90°，
∵EM=DM=(1)/(2)BC，DN=EN=(1)/(2)DE，BC²=2DE²，
∴（2EM）²=2（2EN）²，
∴EM=√(2)EN，
∴sin∠EMN=(EN)/(EM)=(√(2))/(2)，
∴∠EMN=45°，
同理∠DMN=45°，
∴∠DME=90°，
∴∠DMB+∠EMC=180°-90°=90°，
∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，
∴∠ABC+∠ACB=(1)/(2)（180°-∠DMB+180°-∠EMC）=135°，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=45°．