如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°。（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式。

Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°。

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式。

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°
∴∠ADB+∠DAB=135°
∵∠ADE=45°
∴∠ADB+∠EDC=135°
∴∠DAB=∠EDC
∴△ABD∽△DCE；
（2）∵△ABD∽△DCE
∴
∴AB=AC=1，∠BAC=90°
∴BC= ，CD= -x
∴
∴CE= x-x ²
∴AE=AC-CE=1-（ x-x ² ）=x ² - x+1
即y=x ² - x+1（0<x< ）