如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是DC和BC两边上的动点且始终保持∠EAF=45°，连接AE与AF交DB于点N，M．下列结论：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周长始终保持不变其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN

Question

如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是DC和BC两边上的动点且始终保持∠EAF=45°，连接AE与AF交DB于点N，M．下列结论：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周长始终保持不变其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN²+BM²=NM²．其中正确的结论是（　　）

A. ①②③

B. ①②④

C. ②③④

D. ①③④

Answer 1

①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，
∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，
∴△ADM∽△NBA，①正确；
②如图1，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，则BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，
在△AEF和△AGF中，

AE=AG

∠EAF=∠FAG

AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF，
∴DG=EF，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正确；
③当MN∥EF时，AE×AM=AF×AN，
∵MN与EF的位置关系不确定，∴③错误；
④如图2，把△ADN顺时针旋转90°得到△ABH，则BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，
在△NAM和△HAM中，

AN=AH

∠NAM=∠HAM

AM=AM

，
∴△AEF≌△AGF，
∴MN=MH，
又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，
∴BH²+BM²=MH²，即DN²+BM²=NM²，④正确．
故选：B．