如图，抛物线y=ax2-8ax+12a（a＜0）与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB是直角，且恰使△OCA∽△OBC．（1）求：A、B两点坐标；（2）求该抛物线的解

Question

如图，抛物线y=ax²-8ax+12a（a＜0）与X轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB是直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求：A、B两点坐标；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
A、B两点坐标分别为：（2，0），（6，0）．
（-2舍去）．
∴线段OC的长为2．
∴
设AC=k，则BC=k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∵OA=AC=2，
∴AC=2，BC=2=OC
过点C作CD⊥AB于点D，
∴OD=OB=3
∴CD=
∴C的坐标为（3，）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得=a（3-2）（3-6）
∴a=-
∴抛物线的函数关系式为：
y=-x²+x-4．

（3）①当P₁与O重合时，△BCP₁为等腰三角形
∴P₁的坐标为（0，0）；
②当P₂B=BC时（P₂在B点的左侧），△BCP₂为等腰三角形
∴P₂的坐标为（6-2，0）；
③当P₃为AB的中点时，P₃B=P₃C，△BCP₃为等腰三角形
∴P₃的坐标为（4，0）；
④当BP₄=BC时（P₄在B点的右侧），△BCP₄为等腰三角形
∴P₄的坐标为（6+2，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
（0，0），（6-2，0），（4，0），（6+2，0）．