已知函数f（x）=（x+1）lnx-ax+a（a为常数，且为正实数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-ax+a（a为常数，且为正实数）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1） （1）f（x）=（x+l）lnx-ax+a，f′（x）=lnx+(1)/(x)+1-a，
若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx+(1)/(x)+1在（0，+∞）恒成立，（a>0），
令g（x）=lnx+(1)/(x)+1，（x>0），g′（x）=(x-1)/(x2)，
令g′（x）>0，解得：x>1，令g′（x）<0，解得：0<x<1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）_min=g（1）=2，故0<a≤2；
（2）当0<a≤2时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（1）=0，
当0<x<1时，f（x）<0，当x>1时，f（x）>0，
故不等式（x-1）f（x）≥0恒成立．
若a>2，f′（x）=(xlnx+(1-a)x+1)/(x)，
设p（x）=xlnx+（1-a）x+1，p′（x）=lnx+2-a=0，则x=e^a-2，
当x∈（1，e^a-2）时，p（x）单调递减，则p（x）<p（1）=2-a<0，
即f′（x）=(p(x))/(x)<0，∴当x∈（1，e^a-2）时，f（x）单调递减，f（x）<f（1）=0．
此时（x-1）f（x）<0，不符合题意．
∴a的取值范围为（0，2]．