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如图,已知B(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点,点D为第二象限一动点,E在BD的延长线上,CD交AB于F,且∠BDC=∠BAC.(1)求证:∠ABD=∠ACD;(2)求证:AD平分∠CDE;(3)若在D点运
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如图,已知B(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点,点D为第二象限一动点,E在BD的延长线
上,CD交AB于F,且∠BDC=∠BAC.
(1)求证:∠ABD=∠ACD;
(2)求证:AD平分∠CDE;
(3)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA+DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数?
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b2de9c82d158ccbfd7146b8b1ad8bc3eb03541d3.jpg)
(1)求证:∠ABD=∠ACD;
(2)求证:AD平分∠CDE;
(3)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA+DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数?
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵∠BDC=∠BAC,∠DFB=∠AFC,
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°,
∴∠ABD=∠ACD;
(2)过点A作AM⊥CD于点M,作AN⊥BE于点N.
则∠AMC=∠ANB=90°.
∵OB=OC,OA⊥BC,
∴AB=AC,
∵∠ABD=∠ACD,
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN.
∴AD平分∠CDE.(到角的两边距离相等的点在角的平分线上);
(3)∠BAC的度数不变化.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/18d8bc3eb13533fa431e4d9fabd3fd1f40345bd3.jpg)
在CD上截取CP=BD,连接AP.
∵CD=AD+BD,
∴AD=PD.
∵AB=AC,∠ABD=∠ACD,BD=CP,
∴△ABD≌△ACP.
∴AD=AP;∠BAD=∠CAP.
∴AD=AP=PD,即△ADP是等边三角形,
∴∠DAP=60°.
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°.
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°,
∴∠ABD=∠ACD;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6c81800a19d802ab5ab430fa828ba71e46d3.jpg)
则∠AMC=∠ANB=90°.
∵OB=OC,OA⊥BC,
∴AB=AC,
∵∠ABD=∠ACD,
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN.
∴AD平分∠CDE.(到角的两边距离相等的点在角的平分线上);
(3)∠BAC的度数不变化.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/18d8bc3eb13533fa431e4d9fabd3fd1f40345bd3.jpg)
在CD上截取CP=BD,连接AP.
∵CD=AD+BD,
∴AD=PD.
∵AB=AC,∠ABD=∠ACD,BD=CP,
∴△ABD≌△ACP.
∴AD=AP;∠BAD=∠CAP.
∴AD=AP=PD,即△ADP是等边三角形,
∴∠DAP=60°.
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°.
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