如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°<∠ACF<45°．（1）求证：△BEC≌△CFA；（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并

Question

如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°<∠ACF<45°．

（1）求证：△BEC≌△CFA；
（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；
（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°，
∴∠BCE+∠B=90°，∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠B=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，

∠B=∠ACF

∠BEC=∠F

BC=AC

，
∴△BEC≌△CFA．

（2）∵△BEC≌△CFA，
∴AF=CE=5，BE=CF，
∵CF=CE+EF=5+8=13，
∴BE=13．

（3）结论：△QEF是等腰直角三角形．
理由：如图，由此EQ交AF的延长线于M．
∵BE⊥CF，AF⊥CF，
∴BE∥AM，
∴∠BEQ=∠M，
在△BQE和△AQM中，

∠BEQ=∠M

∠BQE=∠AQM

BQ=AQ

，
∴△BQE≌△AQM，
∴EQ=QM，BE=AM=CF，
∵CE=AF，
∴FE=FM，
∴FQ⊥EM，QF=QM=QE，
∴△QEF是等腰直角三角形．