设A是3阶实对称矩阵,若A^2=0,证明A=0问一下为什么由A^2=0可以知道a11^2+a12^2+a13^2=0?通过相似变换对角化是什么意思？

Question

设A是3阶实对称矩阵,若A^2=0,证明A=0 问一下为什么由A^2=0 可以知道a11^2+a12^2+a13^2=0 ?
通过相似变换对角化 是什么意思？

Answer 1

因为 A 是实对称矩阵,所以 A^T=A.
A^2 = AA^T = 0
A^TA 第1行第1列的元素为 a11^2+a12^2+a13^2=0
同理 a21^2+a22^2+a23^2=0
a31^2+a32^2+a33^2=0
由A是实矩阵,故 aij = 0,i,j=1,2,3
所以 A=0.
相似对角化即存在可逆矩阵P,使得 P^-1AP 为对角矩阵.