线段DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上,则线段DE长度的最小值为

Question

线段DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上,则线段DE长度的最小值为

Answer 1

设AD=m,AE=n
S△ADE=1/2S△ABC=1/2*1/2AB*AC*sin60°= √3/2*a^2
在三角形ADE中,S△ADE=1/2mn*sin60°=√3/4mn
所以：√3/4mn=√3/2*a^2
即：mn=2a^2
由余弦定理,得：
DE^2=m^2+n^2-2mncos60°=m^2+n^2-2a^2
因为：m^2+n^2≥2mn
即：m^2+n^2≥4a^2
所以：DE^2≥4a^2-2a^2
DE≥√（2a^2）
DE≥√2a