对任意n阶方阵A，证明：A+AT为对称矩阵，A-AT为反对称矩阵，且A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．

Question

对任意n阶方阵A，证明：A+A^T为对称矩阵，A-A^T为反对称矩阵，且A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．

Answer 1

证明：∵（A+A^T）^T=A^T+（A^T）^T=A+A^T
∴A+A^T为对称矩阵．
∵（A-A^T）^T=A^T-（A^T）^T=-（A-A^T）
∴A-A^T为反对称矩阵．
又A＝(A+AT)/(2)+(A−AT)/(2)
而((A+AT)/(2))T＝(AT)/(2)+(A)/(2)＝(A+AT)/(2)，即(A+AT)/(2)是对称矩阵；
((A−AT)/(2))T＝(AT)/(2)−(A)/(2)＝−(A−AT)/(2)，即(A−AT)/(2)是反对称矩阵
∴A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．