如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由

Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

Answer 1

（1） ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB=√(2)BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴BD=√(2)AB=BC√(2)×√(2)×BC=2BC，
∵G为BD的中点，
∴BG=(1)/(2)BD=BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，
∴∠CGB=45°，
∵∠ADB=45°，
AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°
∴∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC与△BAE中，

AD=AB

∠CAD=∠EAB

AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴CE=AB=AD，
在△BCE与△CAD中，

BC=AC

∠BCE=∠CAD=135°

EC=DA

，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CBE+∠BCD=90°，
∴∠CFB=90°，
即BE⊥CD．