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如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．
题目详情
如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．
▼优质解答
答案和解析
证明：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF，
在三角形ACF和△CBF中，
，
∴△AFC≌△BCF（SSS），
∴∠ACF=∠BCF
∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），
即CG垂直平分AB．
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF，
在三角形ACF和△CBF中，
|
∴△AFC≌△BCF（SSS），
∴∠ACF=∠BCF
∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），
即CG垂直平分AB．
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