如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD丄于D,点E是圆0上一点,且∠ACE=2∠BCD,连AE若BD=1AE=4求圆的半径

Question

如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD丄于D,点E是圆0上一点,且∠ACE=2∠BCD,连AE 若BD=1 AE=4求圆的半径

Answer 1

1、延长CO与AE交于F,连结EO,

∵AB是直径,

∴〈ACB=90°,

∵〈CDB=90°,

∴〈CAB=90°-〈CBA,

∴〈BCD=90°-〈CBA,

∴〈CAB=〈BCD,

∵〈BCD=〈ACE/2,

∴〈CAB=〈ACE/2,

∵AO=CO=R,

∴〈OAC=〈OCA,

∴〈ACE=2〈ACO,

∴CO是〈ACE的平分线,

∵CO=OE=R,

∴〈OEC=〈OCE=〈ACO=〈CAO,

∵AO=EO=R,

∴〈OAE=〈OEA,

∴〈CAE=〈CEA,

∴△CAE是等腰△,

∵FC是顶角〈ACE的平分线,

∴CF⊥AE,（等腰△三线合一）.

2、∵〈BCD=〈ACF,

〈CDB=〈CFA=90°,

∴RT△CDB∽RT△CFA,

∴BD/AF=BC/AC,

AF=AE/2=2,

∴BC/AC=1/2,

设BC=x,AC=2x,AB=√5x,

∵〈CBD=〈ABC,（公用角）

〈CDB=〈ACB=90°,

∴RT△CBD∽RT△ABC,

∴BD/BC=BC/AB,

1/x=x/√5x,

x=√5,

AB=√5*√5=5,

∴半径R=AB/2=5/2.