已知直线AB∥CD，点P是直线AB上一动点，点E是∠ACD平分线上的点，连接PE，作∠BPE的平分线PF交CD于点F．（1）如图1，若∠PEC小于180°时，直接写出，∠ACE、∠BPF、∠PEC的数量关系；（2）如图2

Question

已知直线AB∥CD，点P是直线AB上一动点，点E是∠ACD平分线上的点，连接PE，作∠BPE的平分线PF交CD于点F．
（1）如图1，若∠PEC小于180°时，直接写出，∠ACE、∠BPF、∠PEC的数量关系；
（2）如图2若点P在CE的延长线上时，求证：(1)/(2)∠ACE+∠BPF=90°；
（3）在（2）的条件下，分别延长CA、FP相交于点M，若∠CMF=∠APC，求：∠ACF的度数．

Answer 1

（1）∠ACE、∠BPF、∠PEC的数量关系为：∠ACE+2∠BPF=∠PEC．
理由：如图1，延长PE交CD于G，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
∵AB∥CD，
∴∠EGC=∠BPE，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EGC=∠BPE=2∠BPF，
∵∠PEC是△CEG的外角，
∴∠ECG+∠EGC=∠PEC，
∴∠ACE+2∠BPF=∠PEC；

（2）如图2，∵CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，
∴∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠BPF，
∵AB∥CD，点P在CE的延长线上，
∴∠BPE+∠ECD=180°，
∴2∠BPF+∠ACE=180°，
即(1)/(2)∠ACE+∠BPF=90°；

（3）如图3，∵CE平分∠ACD，PF平分∠BPE，
∴∠ACE=∠ECD，∠BPE=2∠EPF，
∵AB∥CD，
∴∠ECD=∠APC，
又∵∠CMF=∠APC，
∴∠ECD=∠CMF，
设∠ACE=∠ECD=α，则∠CMF=α，∠ACF=2α，
∵∠CPF是△PCM的外角，
∴∠EPF=∠M+∠ACP=2α，
∴∠BPE=2∠EPF=4α，
∵AB∥CD，点P在CE的延长线上，
∴∠BPE+∠ECD=180°，
即4α+α=180°，
∴α=36°，
∴∠ACF=2α=72°．