如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD交于点F．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）过A作AG⊥CD于G，求证：AF=2FG；（3）如图2，若BF⊥AF，求CFAF的值．

Question

如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD交于点F．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）过A作AG⊥CD于G，求证：AF=2FG；
（3）如图2，若BF⊥AF，求(CF)/(AF)的值．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACE=∠B=60°，
在△ACE和△CBD中，

AC=CB

∠ACE=∠B

CE=BD

，
∴△ACE≌△CBD
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，
∵∠AFG=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90°
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG．
（3）如图2中，延长FD到M，使得∠FAM=60°，连接BM．
∵∠AFM=∠FAM=∠AMF=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴AF=FM=AM，
∵∠CAB=∠FAM=60°，
∴∠CAF=∠MAB，
在△CAF和△BAM中，

AC=AB

∠CAF=∠BAM

FA=MA

，
∴△CAF≌△BAM，
∴CF=BM，
∵AF⊥BF，∠AFD=60°，
∴∠MFB=30°，
∵∠AMD=∠ABC=60°，
∴AMBC四点共圆，
∴∠AMB+∠ACB=180°，
∴∠FMB=60°，
∴∠FBM=180°-∠MFB-∠FMB=90°，
∴FM=2BM，
∴AF=2CF
∴(CF)/(AF)=(1)/(2)．