如图，已知△ABC，分别以AC，BC，AB为边，作等边三角形ACE，BCD和ABF，连接AD，BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

Question

如图，已知△ABC，分别以AC，BC，AB为边，作等边三角形ACE，BCD和ABF，连接AD，BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

Answer 1

证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，

EC=AC

∠ECB=∠ACD

BC=DC

，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
同理可得∠CPE=∠EAC=60°，
在PE上截取PH=PC，连接HC，
则△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，

∠CPA=∠CHE

∠CAP=∠CEH

PC=HC

，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．