whatadifficult!（对偶来说）,已知函数f（x）在（-∞,+∞）内可导,f（x）>0,且满足lim（h→0）[f（x+hx)/f(x)）]^(1/h)=e^(1/x),求f（x）气死了看例题去了

Question

what a difficult!（对偶来说）,
已知函数f（x）在（-∞,+∞）内可导,f（x）>0,且满足lim（h→0）[f（x+hx)/f(x)）]^(1/h)=e^(1/x),求f（x）
气死了
看例题去了

Answer 1

f(x)=ce^(-1/x)
这个.太难写了.括号也很乱,你先誊到草稿纸上再理解吧,下面我尽量一步一步来推
主要用到公式(1+a)^(1/a)=e^a (具体的字母可能用错了,e是自然对数,a→0)
[f(x+hx)/f(x)]^(1/h)=e^(1/x)
等号左边变形得{1+[f(x+hx)-f(x)]/f(x)}^(1/h)
接着{1+[f(x+hx)-f(x)]/f(x)}^{[f(x+hx)-f(x)]/[f(x+hx)-f(x)]*(1/h)} 这两步变形都是没用到公式的
然后,注意方括号里面的值f(x+hx)-f(x)趋近于0（因为f（x）在（-∞,+∞）内可导,f（x）>0）,所以利用公式(1+a)^(1/a)=e^a 得等号左边等于
e^[(f(x+hx)-f(x))/(h*f(x))]等于等号右边等于e^(1/x)
所以(f(x+hx)-f(x))/(h*f(x))=1/x 再变形
(f(x+hx)-f(x))/h*x=f(x)/x^2
这时,等号左边就等于f'(x),即
f'(x)=f(x)/x^2
凑凑就知道f(x)=ce^(-1/x)