如图，在△ABC中，∠C=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG．（1）求证：△CAG∽△ABC；（2）求sinB的值．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG．

（1）求证：△CAG∽△ABC；
（2）求sinB的值．

Answer 1

（1）证明：CG交AB于D，如图，设GD=a，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2DG=2a，CD为AB边上的中线，
∴CD=AD=BD=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC；
（2） ∵△CAG∽△ABC，
∴(AC)/(AB)=(CG)/(AC)，即(AC)/(6a)=(2a)/(AC)，
∴AC=2√(3)a，
在Rt△ACB中，sinB=(AC)/(AB)=(2√(3)a)/(6a)=(√(3))/(3)．