如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=12∠A．（1）求证：BC是O的切线；（2）若sinB=35，O的半径为r，求△EHG的面

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的 O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=(1)/(2)∠A．

（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若sinB=(3)/(5)， O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，
∴FG∥AC，
∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=(1)/(2)∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，
∴OE⊥BC，
∴BC是 O的切线；

（2） ∵在Rt△OBE中，sinB=(3)/(5)， O的半径为r，
∴OB=(5)/(3)r，BE=(4)/(3)r，
∴BF=OB+OF=(8)/(3)r，
∴FG=BF•sinB=(8)/(5)r，
∴BG=√(BF2-FG2)=(32)/(15)r，
∴EG=BG-BE=(4)/(5)r，
∴S_△FGE=(1)/(2)EG•FG=(16)/(25)r²，EG：FG=1：2，
∵BC是切线，
∴∠GEH=∠EFG，
∵∠EGH=∠FGE，
∴△EGH∽△FGE，
∴(S△EGH)/(S△FGE)=（(EG)/(FG)）=(1)/(4)，
∴S_△EHG=(1)/(4)S_△FGE=(4)/(25)r²．