已知函数f（x）=x2+x+a，x<01x，x>0的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A.（14，1）B.（2，+∞）C.(-∞，-2)∪(14，+∞)D.

Question

已知函数f（x）=

x2+x+a，x<0

(1)/(x)，x>0

的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（　　）

A. （

(1)/(4)，1）

B. （2，+∞）

C. (-∞，-2)∪(

(1)/(4)，+∞)

D. (-∞，

(1)/(4))

Answer 1

当x<0时，f（x）=x²+x+a的导数为f′（x）=2x+1；
当x>0时，f（x）=(1)/(x)的导数为f′（x）=-(1)/(x2)，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁<x₂，
当x₁<x₂<0，或0<x₁<x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁<0<x₂，
当x₁<0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为：
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂>0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y+(1)/(x2)=-(1)/(x22)（x-x₂）．
两直线重合的充要条件是-(1)/(x22)=2x₁+1①，0=-x₁²+a②，
由①及x₁<0<x₂得0<(1)/(x2)<1，由①②得a=(1)/(4)（(1)/(x22)+1）²，
令t=(1)/(x22)，则0<t<1，且a=(1)/(4)（t+1）²，
在（0，1）为增函数，
∴(1)/(4)<a<1，
故选：A．