已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．①求f（1）的值；②判断f（x）的单调性；③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（(x1)/(x2)）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）的单调性；
③若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

解 ①由f（(x1)/(x2)）=f（x₁）-f（x₂），令x₁=x₂，则f（1）=0；
②设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）-f（x₂）=f（(x1)/(x2)），
因为(x1)/(x2)＞1，所以f（(x1)/(x2)）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
③因为f（3）=-1，又f（(9)/(3)）=f（9）-f（3），即f（9）=2f（3）=-2，
所以f（|x|）＜-2，可化为f（|x|）＜f（9），
又f（x）为（0，+∞）上的单调减函数，
所以|x|＞9，解得x＜-9或x＞9，
所以f（|x|）＜-2的解集为（-∞，9）∪（9，+∞）．