已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是．

Question

已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是 ___ ．

Answer 1

f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=(1)/(x)-2a=(1-2ax)/(x)，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=(1)/(2a)．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜(1)/(2a)，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞(1)/(2a)，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=(1)/(2a)时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g((1)/(2a))=ln(1)/(2a)＞0，解得0＜a＜(1)/(2)．
∴实数a的取值范围是(0，(1)/(2))．
故答案为：(0，(1)/(2))．