已知随机变量X和Y的分布律为而且P（X=Y）=14，则X与Y的相关系数为-33-33．

Question

已知随机变量X和Y的分布律为

而且P（X=Y）=(1)/(4)，则X与Y的相关系数为

-(√(3))/(3)

-(√(3))/(3)

．

Answer 1

因为P(X＝Y)＝P(X＝1，Y＝1)＝(1)/(4)，
由全概率公式可得，
P（X=-1，Y=1）=P（Y=1）-P（X=1，Y=1）=(3)/(4)-(1)/(4)=(1)/(2)，
P（X=-1，Y=0）=P（X=-1）-P（X=-1，Y=1）=(1)/(2)-(1)/(2)=0，
P（X=1，Y=0）=P（Y=0）-P（X=-1，Y=0）=(1)/(4)-0=(1)/(4)，
故X与Y的联和分布律为：

Y X	0	1	Pi
-1	0	(1)/(2)	(1)/(2)
1	(1)/(4)	(1)/(4)	(1)/(2)
Pj	(1)/(4)	(3)/(4)	1

由X与Y的联合分布计算可得，
E（X）=-1×(1)/(2)+1×(1)/(2)=0，
E（Y）=0×(1)/(4)+1×(3)/(4)=(3)/(4)，
E（XY）=0×P（X=0）+（-1）×P（X=-1，Y=1）+1×P（X=1，Y=1）=-(1)/(4)，
E（X²）=（-1）²×(1)/(2)+1²×(1)/(2)=1，
E（Y²）=0²×(1)/(4)+1²×(3)/(4)=(3)/(4)，
D（X）=E（X²）-（E（X））²=1，
D（Y）=E（Y²）-（E（Y））²=

作业帮用户 2017-09-23

问题解析

首先由已知条件P（X=Y）=

(1)/(4)以及全概率公式计算X与Y的联合分布，然后计算E（X）、E（Y）、E（XY）、D（X）与D（Y），最后利用公式Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）与ρ（X，Y）=(Cov(X，Y))/(√(D(X))√(D(Y)))计算即得X与Y的相关系数．

名师点评

本题考点：

相互独立的随机变量的联合分布函数；全概率公式及其应用；相关系数的定义．

考点点评：

本题考查了两个随机变量的相关系数的计算，其中用到了两个变量的联合分布的计算、全概率公式、数学期望与方程的计算，题目难度适中，解题过程采用了常用的步骤．

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