在△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高．（1）如图1，求证：∠BAC=2∠BCD．（2）如图2，∠ACD的平分线CE交AB于E，过E作EF⊥BC于F，EF与CD交于点G．若ED=m，BD=n，请用含有m、n的代数式表示△EGC的面积．

Question

在△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高．
（1）如图1，求证：∠BAC=2∠BCD．
（2）如图2，∠ACD的平分线CE交AB于E，过E作EF⊥BC于F，EF与CD交于点G．若ED=m，BD=n，请用含有m、n的代数式表示△EGC的面积．

Answer 1

（1）证明如图1，：过A作AE⊥BC于E，交CD于F，
∴∠BAE+∠B=90°
又AB=AC，∴∠BAE=(1)/(2)∠BAC．
又∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BAE=∠BCD．
∴∠BAC=2∠BCD；

（2） 如图2，过点A作AP⊥BC于点P，∠APB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAP=∠PAC，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°，
∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90°，
∴∠BAP=∠PAC=∠BCD，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠ECD，
∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90°
∴2（∠BCD+∠ECD）=90°，
∴∠BCE=45°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°，
∴∠FEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=∠APC=90°，
∴EF∥AP，
∴∠BEF=∠BAP=∠BCD，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=∠EFC=90°，
在△BFE和△GFC中，

∠BEF=∠FCG

EF=FC

∠EFB=∠CFG

，
∴△BFE≌△GFC（ASA），
∴BE=CG=m+n，
∴△EGC的面积=(1)/(2)CG•DE=(1)/(2)（m+n）•m=(1)/(2)m（m+n）．