已知抛物线的方程为y2=2px（p>0），O为坐标原点，A、B为抛物线上的点，若△OAB为等边三角形，且面积为123，则p的值为（）A.2B.1C.3D.12

Question

已知抛物线的方程为y²=2px（p>0），O为坐标原点，A、B为抛物线上的点，若△OAB为等边三角形，且面积为12

√(3)，则p的值为（　　）

A. 2

B. 1

C. 3

D.

(1)/(2)

Answer 1

设B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂与p同号，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由抛物线对称性，知点B、A关于x轴对称．
不妨设直线OB的方程为：y=(√(3))/(3)x，
联立y²=2px，解得B（6p，2√(3)p）．
∵面积为12√(3)，
∴(√(3))/(4)•(4√(3)p)2=12√(3)，∴p=1
故选B．